正65537边形尺规作图法，正65537边形怎么画( 三 )

那么正17边形所对应的三角函数是这样的呢？
有兴趣的可以看一下如下证明：
设正17边形的一条边对应的中心角为a，则17a = 2π，即16a = 2π - a 。故sin(16a) = -sin(a)
而sin(16a) = 2sin(8a)cos(8a) = 4sin(4a)cos(4a)cos(8a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)故 -sin(a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)

因 sin(a) 不为0故16cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a) = -1

用余弦函数积化和差公式进行迭代，有：2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1
令 x = cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a)
y = cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a)
则：x + y = -1/2
xy = (cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a))(cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a))
对xy进行展开, 积化和差, 再利用周期性合并同类项，有：
xy = (1/2)(4cos(a) + 4cos(2a) + ... + 4cos(8a) )
即xy = -1

联立方程组，得：
x = (-1 + √17) / 4
y = (-1 - √17) / 4

再设x1 = cos(a) + cos(4a)，x2 = cos(2a) + cos(8a)
y1 = cos(3a) + cos(5a)，y2 = cos(6a) + cos(7a)
积化和差，再利用 2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1 有：
x1x2 = -1/4
y1y2 = -1/4

故同法可解x1，x2，y1，y2：
x1 = (-1 + √17 + √2 * √(17 - √17)) / 8
x2 = (-1 + √17 - √2 * √(17 - √17)) / 8
y1 = (-1 - √17 + √2 * √(17 + √17)) / 8
y2 = (-1 - √17 - √2 * √(17 + √17)) / 8

最后，由cos(a) + cos(4a) = x1
2cos(a)cos(4a) = y1 可求cos(a)之表达式：

它是由整数经过加、减、乘、除、开平方构成的。

故正17边形可用尺规作出。
还有，很多人说这个动图太快了，看不懂（只觉得好厉害），那现在超模君来分享一下现代数学家H.W.Richmond的画法吧！（这个真的可以自己动手画的哦）
第一步：
给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45°

第二步：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

第三步：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，
P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
via：星云风暴
本文由超级数学建模
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