那么就有：
在区间的另一个端点也存在相类似的结果 。这个定理就称之为洛必达法则，能有效地应用于待定型的极限计算 。
3.不等式柯西中值定理在不等式的证明也有广泛应用，关键是f(x)和g(x)要选得恰当 。
例2
试证明当x>0时，1+x ln(x+√1+x2)>√1+x2 。
证明：设
则f(t)和g(t)在区间[0,x]上满足柯西中值定理条件，所以存在ξ∈(0,x)，使
即
结论得证 。
4.中值点中值点的存在性的证明是柯西中值定理最典型的应用之一 。
例3
设a>0，函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b)，使得
证明：设F(x)=f(x)/x，G(x)=1/x，显然F(x),G(x)在[a,b]上满足柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈(a,b)，使得
即存在ξ∈(a,b)，使得
即可得结论 。
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